Vollkommene Zahlen

Eine natürliche Zahl heißt vollkommene oder auch perfekte Zahl, wenn sie genauso groß ist, wie die Summe ihrer echten positiven Teiler.

Die vollkommenen Zahlen schienen den alten Griechen bekannt zu sein, wahrscheinlich sogar schon früher den Babyloniern und Ägyptern.

Vollkommene Zahlen sind, anders als abundante oder defiziente Zahlen, sehr selten. Die kleinsten Vollkommenen Zahlen, die seit der Antike bekannt sind, sind 6, 28, 496 und 8128. 

Euklid stellte fest, dass sich die ersten vier vollkommenen Zahlen mit der Formel 

2^{n - 1}(2ⁿ - 1)

berechnen lassen. Euklid bewies, dass 2^{n - 1}(2ⁿ - 1) immer dann eine vollkommene Zahl ist, wenn 2ⁿ − 1 eine Primzahl ist - dies sind die so genannten Mersenne-Primzahlen. Fast 2000 Jahre später konnte Leonhard Euler beweisen, dass auf diese Weise alle geraden vollkommenen Zahlen erzeugt werden können.

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele vollkommene Zahlen gibt. Zudem ist es unbekannt, ob es auch ungerade vollkommene Zahlen gibt. Man weiß jedoch, dass eine solche Zahl, wenn sie existiert, größer als 10⁵⁰⁰ ist und mindestens 8 (bzw. 11, wenn die Zahl nicht durch 3 teilbar ist) verschiedene Primteiler hat.

Quellen: http://de.wikipedia.org/wiki/Vollkommene_Zahl; http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/vollkzahlen.html;